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学函数,悟思想,通新知

2022-01-23 17:34:52思想汇报
程辉我们学习数学不能单纯地依赖模仿与记忆,自主探索、合作交流才是学习的重要方式。因此,我们在学习了二

程辉

我们学习数学不能单纯地依赖模仿与记忆,自主探索、合作交流才是学习的重要方式。因此,我们在学习了二次函数的图像与性质后,有必要运用已有的二次函数学习经验研究新的问题。

我们如果要尝试探究函数y=[2x2][-12]x的圖像与性质。首先,根据已有的学习函数的经验,观察出自变量x的取值范围是x≠0。

其次,列表,在x≠0的附近(左右两边)选取自变量x的几个值,计算函数y对应的值。

再次,以表中各对x、y的值为点的坐标,在平面直角坐标系xOy中描出对应的点。

最后,用平滑的曲线连接描出的各点,画出该函数的图像,如图1。

观察该函数图像,我们发现:

①由于x≠0,所以曲线与y轴没有交点。

②图像是两支曲线,分布在第一、二、四象限。

③在第二象限内,曲线有最低点,最低点的坐标是(-2,[32])。

④当x<-2时,y随x的增大而减小;当

-20时,y随x的增大而减小。

⑤函数没有最大值,也没有最小值。

有了函数的图像,我们还可以进一步研究新问题,如过点P(0,m)作直线l⊥y轴,则直线l与函数y=[2x2][-12]x的图像至少有一个公共点,最多有三个公共点。对应关于x的方程[2x2][-12]x=m,当m<[32]时,方程有一个解;当m=[32]时,方程有两个解;当m>[32]时,方程有三个解。

【积累经验】对于函数问题,其研究路径是:分析函数的表达式→列表、描点、连线画出函数图像→利用函数图像观察、研究,发现其性质→运用函数图像解决问题。

例 数学社团的同学根据学习函数的经验,研究函数y=[62x-12+a]-3的相关性质和应用。以下是他们研究的部分过程,请你按要求回答下列问题。

(1)列表,下表中列出x、y的部分对应值:

[x y … … -3 [-3111] -2 [-5119] -1 [-73] 0 -1 1 3 2 b 3 [-73] 4 [-5119] 5 [-3111] … … ]

根据表格中的数据计算出:a=__________,b=__________;

(2)根据上表中的数据在如图2所示的平面直角坐标系中已经描出部分点的位置,请继续通过描点、连线的方法,画出该函数图像,并写出该函数的一条性质:__________;

(3)已知函数y=x+[12]的图像如图2所示,结合你画的图像,直接写出方程[62x-12+a]=x+[72]的解。(结果保留1位小数,误差不超过0.2)

【解析】(1)根据待定系数法,将x=0,y=

-1代入y=[62x-12+a]-3,得-1=[62+a]-3,∴a=1。

函数为y=[62x-12+1]-3,把(2,b)代入,得b=-1。

(2)描点、连线,画出函数图像如图3。

观察图像,我们发现:

①函数图像是轴对称图形,对称轴是直线x=1。

②当x<1时,y随x的增大而增大;当x>1时,y随x的增大而减小。

③当x=1时,函数y有最大值,最大值是3。

(3)观察图像,方程[62x-12+a]=x+[72]的解为x=-3.4或x=0.8或x=1.2。

(作者单位:江苏省东台市实验中学)

小试牛刀

借鉴已有研究函数的经验,探索函数y=[x2-2x-3]-2的图像与性质,研究过程如下,请补充完整。

(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:

[x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … y … 10 m -2 1 n 1 -2 3 10 … ]

其中,m=__________,n=__________。

(2)根据表格数据,在平面直角坐标系中描点,并画出函数图像。

(3)观察函数图像:

①写出函数的一条图像性质:__________;

②当方程[x2-2x-3]=b+2有且仅有两个不相等的实数根时,根据函数图像直接写出b的取值范围为__________。

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